Anche quest’anno, in terza, abbiamo costruito alcuni poliedri a partire dal loro sviluppo piano, stampato su cartoncino. Il lavoro di costruzione è proseguito più o meno casualmente; a dire la verità siamo partiti da solidi abbastanza facili da costruire per arrivare solo alla fine ai più complessi.

Solo quando ormai li avevamo tutti a disposizione, ci siamo chiesti in che modo avremmo potuto classificarli e solo dopo attente riflessioni e qualche discussione abbiamo imparato alcune classi in cui i matematici veri li suddividono. In questo articolo riprendiamo questa classificazione e le risposte ad alcune delle domande che ci siamo posti nel lavorare.

1. Poliedri regolari (detti anche solidi platonici)

Chiamiamo regolare un poliedro se le sue facce sono poligoni regolari uguali fra loro e se in ogni vertice concorrono lo stesso numero di facce.

Tetraedro regolare

Ha 4 facce a forma di triangolo equilatero, 4 vertici e 6 spigoli.

Cubo o esaedro regolare

Ha 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli.

Ottaedro regolare

Ha 8 facce a forma di triangolo equilatero, 6 vertici e 12 spigoli.

Dodecaedro regolare

Ha 12 facce a forma di pentagono regolare, 20 vertici e 30 spigoli.

Icosaedro regolare

Ha 20 facce a forma di triangolo equilatero, 12 vertici e 30 spigoli.

2. Esempi di poliedri semiregolari (detti anche solidi archimedei)

Cubottaedro

Ha 6 facce quadrate e 8 facce a forma di triangolo equilatero, 24 spigoli e 12 vertici.

Icosidodecaedro

Ha 12 facce a forma di pentagono regolare e 20 facce a forma di triangolo equilatero, 60 spigoli e 30 vertici.

Cubo troncato

Ha 6 facce a forma di ottagono regolare, 8 facce a forma di triangolo equilatero, 36 spigoli e 24 vertici.

Rombicubottaedro

Ha 18 facce quadrate e 8 facce a forma di triangolo equilatero, 48 spigoli e 24 vertici.

 

Cubo camuso

Ha 6 facce quadrate e 32 facce a forma di triangolo equilatero, 60 spigoli e 24 vertici.

3. Esempi di solidi di Catalan

Esacontaedro pentagonale

Ha 60 facce pentagonali, 150 spigoli e 92 vertici. Per ogni coppia di facce, esiste una simmetria del solido che sposta la prima nella seconda. Questo lo rende un buon dado da gioco.

Dodecaedro rombico

Il dodecaedro rombico ha 12 facce a forma di rombo (le cui diagonali possiedono lo stesso rapporto che sussiste tra il lato e la diagonale di un quadrato), 24 spigoli e 14 vertici. Per ogni coppia di facce, esiste una simmetria del solido che sposta la prima nella seconda. Questo lo rende un buon dado da gioco.

4. Esempi di poliedri di Keplero – Poinsot

Piccolo dodecaedro stellato

Ha 12 facce a forma di stella pentagonale, 30 spigoli e 12 vertici.

5. Esempi di poliedri composti

Stella octangula

Ha 8 facce a forma di triangolo equilatero, 12 spigoli e 8 vertici. Si ottiene componendo due tetraedri regolari uguali, uno ruotato rispetto all’altro di 180° e uniti nei baricentri.

6. Caleidocicli

I caleidocicli sono solidi formati da una catena di più tetraedri (in generale non regolari), uniti uno all’altro tramite uno spigolo, chiusa in modo da formare un anello.

7. Alcune domande

E’ possibile calcolare il numero degli spigoli a partire dal numero delle facce?

Poichè ogni spigolo è sempre comune a due facce, il numero degli spigoli si può sempre trovare dividendo a metà la somma dei prodotti tra il numero delle facce di un certo tipo e il numero dei lati delle facce di quel tipo.

E’ possibile calcolare il numero dei vertici a partire dal numero delle facce?

Solo per quei poliedri per i quali il numero delle facce concorrenti in un vertice è sempre lo stesso (diciamo n), il numero degli spigoli si può trovare dividendo per n la somma dei prodotti tra il numero delle facce di un certo tipo e il numero dei vertici delle facce di quel tipo.

Esiste una relazione tra il numero delle facce, quello dei vertici e quello degli spigoli?

Solo per i poliedri semplicemente connessi (ossia senza buchi) è possibile dimostrare la formula di Eulero. Detto f il numero delle facce di un poliedro, v il numero dei suoi vertici e s il numero dei suoi spigoli si ha

f + v = s + 2

In classe abbiamo anche dato una traccia per una dimostrazione di questo fatto.