Terzo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il terzo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Send more money

Harry, ormai adulto, sposato e con figli, è andato a vivere in Canada, lontano dalla sua famiglia di origine.
Sua nonna Elizabeth è molto ricca e lui sa, come tutti i nipoti, di poter contare su di lei, quando ha bisogno di qualcosa.
Il problema è che Harry non può mostrare in pubblico di aver ancora bisogno della “mancetta” della nonna, e soprattutto la nonna non può mostrare in pubblico di accondiscendere alle richieste del nipote. Sono quindi d’accordo di usare un linguaggio in codice, per mandarsi messaggi cifrati, quando Harry ha bisogno di soldi. La regola di questo messaggio in codice è questa: ogni lettera rappresenta una cifra; a lettera uguale corrisponde cifra uguale e a lettere diverse corrispondono cifre diverse.
Harry decide di comprarsi un’automobile usata, ma in ottime condizioni. Ha bisogno, visto il clima rigido del Canada, anche di un treno di gomme invernali.
Ricevuto il conto dal concessionario, lo manda alla nonna, usando il loro linguaggio in codice. Peccato che comunque si capisca che c’è qualcuno in famiglia che ha bisogno di soldi…
Ad ogni modo, quanti dollari canadesi dovrà mandare Elisabeth a Harry per accontentarlo? Quanto costa l’auto usata che Harry vuole comprarsi? Quanto il treno di gomme invernali?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

Risposte al secondo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto tre risposte corrette al problema “Il disco della libertà“, da tre ragazze. Ragazzi, dove siete?

Siccome io sono decisamente pigra, e siccome loro hanno fatto decisamente un ottimo lavoro, copio-incollo qui di seguito le loro soluzioni:

“Ecco come sono andate le cose: il primo carcerato ragiona sulle affermazioni degli altri due e capisce che il terzo carcerato vede sulla sua schiena (quella del primo) e su quella del secondo o due dischi gialli o un disco giallo e uno nero. Il terzo carcerato quindi non potrà mai rispondere con sicurezza, perché il suo disco potrebbe essere di entrambi i colori. Il secondo carcerato, invece, vede sulla schiena del primo un disco giallo e capisce dalla frase del terzo carcerato che sulla sua schiena ( quella del secondo) e su quella del primo ci sono o due dischi gialli o un disco giallo e uno nero, ma visto che vede il disco di colore giallo attaccato alla schiena del primo carcerato, non riuscirà mai a capire se sulla sua schiena c’è un disco giallo o nero. Il primo carcerato quindi, intende subito che sulla sua schiena c’è un disco giallo perché dalle affermazioni degli altri due si capisce che tra i carcerati c’è almeno un disco giallo e se non ne sono sicuri, significa che il disco giallo non appartiene né al secondo né al terzo carcerato. Quindi il primo carcerato riesce a liberarsi perché, grazie alle affermazioni degli altri due, capisce che sulla sua schiena c’è un disco giallo.”
(Giada, seconda D)

“Ecco come secondo me sono andate le cose: Il terzo carcerato ha detto per primo che non poteva indovinare di che colore fosse il suo cartello e così facendo ha fatto capire che gli altri 2 non potevano avere entrambi un cartello nero (unico caso in cui il terzo carcerato avrebbe potuto sapere con certezza il colore del suo cartello cioè in quel caso giallo). Dopo il terzo anche il secondo carcerato ha detto che non poteva indovinare di che colore era il suo cartello. A questo punto il primo carcerato ha capito che il suo cartello non poteva che essere giallo perché se fosse stato nero, in base a quello che aveva fatto capire il terzo carcerato, il secondo carcerato avrebbe indovinato di che colore era il suo cartello che in quel caso sarebbe stato giallo.”
(Gioia, prima A)

(Ambra, seconda C)

Tutto chiaro, no?

Che cosa abbiamo imparato?

Giada, Gioia e Ambra, che sono riuscite a risolvere questo problema, forse non sono riuscite ad imparare niente di nuovo. Chi ci ha provato e non ce l’ha fatta, potrebbe trarre ispirazione dalle seguenti riflessioni (parto da 4, perché 3 cose le abbiamo già imparate quando abbiamo commentato qui il primo allenamento).

4. Esistono giochi matematici senza numeri e senza calcoli

Una delle obiezioni che spesso mi sento fare quando propongo a tutti di partecipare ai giochi matematici è questa: “Ma io non sono veloce a fare i calcoli!”. Orbene, esistono gare matematica anche di velocità nel calcolo (ad esempio il Campionato italiano di calcolo mentale, che quest’anno si svolgerà a Udine il 21 marzo 2020), ma sono un’altra cosa. Non che un po’ di confidenza con i numeri non serva, ma ci sono tanti giochi in cui non è affatto indispensabile.

5. Qualche volta può essere utile ragionare “per assurdo”, ossia fare finta

Se avete letto le spiegazioni delle vostre compagne, vi sarete accorti che hanno ragionato parecchio.
Partiamo dal terzo carcerato, che dice di non poter sapere di che colore è il disco sulla sua schiena.
Com’è che Giada, Gioia e Ambra da qui capiscono che sulla schiena del primo e del secondo ci sono o due dischi gialli oppure un disco giallo e uno nero?
Perché se fossero due dischi neri (essendoci all’inizio solamente due dischi neri disponibili), il terzo avrebbe potuto capire, vedendoli, che sulla sua schiena c’era un disco giallo.
Questo è il tipico ragionamento che i matematici chiamano “per assurdo”: facciamo finta per un attimo che succeda una cosa (in questo caso: che i dischi del primo e del secondo siano entrambi neri); ti mostro che allora succederebbe una cosa che in realtà non succede, non può succedere, o è assurdo che succeda (in questo caso: il terzo avrebbe capito che il suo disco era giallo).
Qualche volta è difficile dimostrare direttamente che accade una cosa ed è più facile dimostrare che è impossibile il suo contrario!