Uno dei compiti di queste vacanze, come sai, è costruire cinque diversi files con Geogebra e rispondere ad alcune domande.

Trovi di seguito le indicazioni da seguire per costruire i files e le domande a cui rispondere (meglio se creando una casella di testo all’interno del file di Geogebra o, in alternativa, sul quaderno). Mi raccomando: per ciascuna costruzione crea un diverso file e salva ciascuno di essi con un nome appropriato.

1. Costruire una prima omotetia e riconoscerla

Costruzione

Con lo strumento Punto disegna tre punti: A, B e C. Con lo strumento Poligono costruisci il triangolo ABC. Con lo strumento Punto disegna un punto O all’esterno del poligono.

Con lo strumento Retta traccia la retta passante per A e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro A e passante per O.
Con lo strumento Intersezione individua il punto D, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per A e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro D e passante per A.
Con lo strumento Intersezione individua il punto A’, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per A e per O.

Con lo strumento Retta traccia la retta passante per B e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro B e passante per O.
Con lo strumento Intersezione individua il punto E, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per B e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro E e passante per B.
Con lo strumento Intersezione individua il punto B’, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per B e per O.

Con lo strumento Retta traccia la retta passante per C e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro C e passante per O.
Con lo strumento Intersezione individua il punto F, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per C e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro F e passante per C.
Con lo strumento Intersezione individua il punto C’, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per C e per O.

Con lo strumento Poligono costruisci il triangolo A’B’C’.

Domande

Con il procedimento indicato, hai costruito un triangolo A’B’C’ che corrisponde al triangolo ABC attraveso una omotetia.

1.1. Qual è il centro dell’omotetia?
1.2. Qual è il valore di questa omotetia?
1.3. Si tratta di una omotetia inversa o diretta?
1.4. Si tratta di un ingrandimento o di una riduzione?

2. Costruire una seconda omotetia e riconoscerla

Costruzione

Con lo strumento Punto disegna tre punti: A, B e C. Con lo strumento Poligono costruisci il triangolo ABC. Con lo strumento Punto disegna un punto O all’esterno del poligono.

Con lo strumento Retta traccia la retta passante per A e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro O e passante per A.
Con lo strumento Intersezione individua il punto D, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per A e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro D e passante per O.
Con lo strumento Intersezione individua il punto E, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per A e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro E e passante per D.
Con lo strumento Intersezione individua il punto A’, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per A e per O.

Con lo strumento Retta traccia la retta passante per B e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro O e passante per B.
Con lo strumento Intersezione individua il punto F, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per B e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro F e passante per O.
Con lo strumento Intersezione individua il punto G, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per B e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro G e passante per F.
Con lo strumento Intersezione individua il punto B’, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per B e per O.

Con lo strumento Retta traccia la retta passante per C e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro O e passante per C.
Con lo strumento Intersezione individua il punto H, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per C e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro H e passante per O.
Con lo strumento Intersezione individua il punto I, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per C e per O.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto disegna la circonferenza di centro I e passante per H.
Con lo strumento Intersezione individua il punto C’, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per C e per O.

Con lo strumento Poligono costruisci il triangolo A’B’C’.

Domande

Con il procedimento indicato, hai costruito un triangolo A’B’C’ che corrisponde al triangolo ABC attraveso una omotetia.

2.1. Qual è il centro dell’omotetia?
2.2. Qual è il valore di questa omotetia?
2.3. Si tratta di una omotetia inversa o diretta?
2.4. Si tratta di un ingrandimento o di una riduzione?

3. Costruire una terza omotetia e riconoscerla

Costruzione

Con lo strumento Punto disegna tre punti: A, B e C. Con lo strumento Poligono costruisci il triangolo ABC. Con lo strumento Punto disegna un punto O all’esterno del poligono.

Con lo strumento Segmento traccia il segmento AO.
Con lo strumento Punto medio o centro individua il punto medio del segmento AO e chiamalo A’.

Con lo strumento Segmento traccia il segmento BO.
Con lo strumento Punto medio o centro individua il punto medio del segmento BO e chiamalo B’.

Con lo strumento Segmento traccia il segmento CO.
Con lo strumento Punto medio o centro individua il punto medio del segmento CO e chiamalo C’.

Con lo strumento Poligono costruisci il triangolo A’B’C’.

Domande

Con il procedimento indicato, hai costruito un triangolo A’B’C’ che corrisponde al triangolo ABC attraveso una omotetia.

3.1. Qual è il centro dell’omotetia?
3.2. Qual è il valore di questa omotetia?
3.3. Si tratta di una omotetia inversa o diretta?
3.4. Si tratta di un ingrandimento o di una riduzione?

4. Costruire una quarta omotetia e riconoscerla

Costruzione

Con lo strumento Punto disegna tre punti: A, B e C. Con lo strumento Poligono costruisci il triangolo ABC. Con lo strumento Punto disegna un punto O all’esterno del poligono.

Con lo strumento Retta traccia la retta passante per A e per O.
Con lo strumento Punto medio o centro individua il punto medio del segmento AO e chiamalo D.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto costruisci la circonferenza di centro O e passante per D.
Con lo strumento Intersezione individua il punto A’, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per A e per O.

Con lo strumento Retta traccia la retta passante per B e per O.
Con lo strumento Punto medio o centro individua il punto medio del segmento BO e chiamalo E.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto costruisci la circonferenza di centro O e passante per E.
Con lo strumento Intersezione individua il punto B’, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per B e per O.

Con lo strumento Retta traccia la retta passante per C e per O.
Con lo strumento Punto medio o centro individua il punto medio del segmento CO e chiamalo F.
Con lo strumento Circonferenza – dati il centro e un punto costruisci la circonferenza di centro O e passante per F.
Con lo strumento Intersezione individua il punto C’, ulteriore intersezione di questa circonferenza con la retta passante per C e per O.

Con lo strumento Poligono costruisci il triangolo A’B’C’.

Domande

Con il procedimento indicato, hai costruito un triangolo A’B’C’ che corrisponde al triangolo ABC attraveso una omotetia.

4.1. Qual è il centro dell’omotetia?
4.2. Qual è il valore di questa omotetia?
4.3. Si tratta di una omotetia inversa o diretta?
4.4. Si tratta di un ingrandimento o di una riduzione?

5. Osservare le figure omotetiche

Con lo strumento Poligono disegna un pentagono.
Con lo strumento Punto disegna un punto esterno al pentagono e chiamalo O.
Seleziona il comando Slider. Fai click in un punto qualunque della vista grafica. Ti comparirà una finestra di controllo in cui dovrai selezionare la voce Numero, scegliere come nome k e come intervallo da -5 a +5, lasciando come incremento 0,1. Dopo aver cliccato su Applica, ti compare nella vista grafica una linea con un punto. Selezionando lo strumento Muovi puoi trascinare questo punto sulla linea; trascinandolo, cambia il valore del numero k. Muovi il punto dello slider fino ad ottenere k = 2.

Seleziona lo strumento Omotetia, poi seleziona il poligono, il punto O e (nella finestrella che ti chiede il Rapporto) digita k (proprio la stessa lettera che hai scelto prima), infine clicca su OK.

A questo punto Geogebra ti ha disegnato il pentagono che è il trasformato del tuo tramite l’omotetia di centro O e di rapporto k = 2.
Ma se adesso selezioni il comando Muovi e trascini il punto sullo slider, cambia il rapporto dell’omotetia e di conseguenza la figura creata. Funziona?

Domande

5.1. Esiste un valore di k per il quale la figura trasformata coincide con la figura originale? Se sì, che valore è?
5.2. Esiste un valore di k per il quale la figura trasformata si riduce ad un punto? Se sì, che valore é?
5.3. Per quali valori di k la figura trasformata è più piccola dell’originale?
5.4. Per quali valori di k la figura trasformata è più grande dell’originale?
5.5. Per quali valori di k la figura trasformata è congruente all’originale?

Con lo strumento Muovi trascina il punto O dentro il pentagono. Poi fai variare il valore di k trascinando il punto sullo slider.

5.6. Possiamo dire che ciascun lato della figura trasformata è perpendicolare al lato corrispondente nella figura originale?
5.7. Possiamo dire che ciascun lato della figura trasformata è parallelo al lato corrispondente nella figura originale?