Secondo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il secondo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Il disco della libertà

A tre carcerati vengono mostrati cinque dischi: tre gialli e due neri.

I tre carcerati sono disposti in “fila indiana”, cosìcché il terzo può vedere le schiene degli altri due, il secondo può vedere la schiena del primo e il primo non vede la schiena di nessuno.

Tre dischi vengono attaccati sulle schiene dei carcerati e i rimanenti due vengono nascosti dalla loro vista.

Le guardie promettono di liberare il carcerato che più velocemente degli altri indovina il colore del disco attaccato alla propria schiena. Il primo carcerato, che non vede nulla, sta per farsi prendere dalla disperazione, quando improvvisamente il terzo carcerato dice: “Io non posso sapere di che colore è il disco sulla mia schiena”.
A quel punto, il secondo carcerato dice: “Nemmeno io.”
Sentite le affermazioni degli altri due, il primo carcerato, esultante, dice: “Sulla mia schiena è attaccato un disco giallo!”. E viene liberato.

Come sono andate le cose?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

Risposte al primo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto sette risposte al problema “Le lancette dell’orologio“, il primo allenamento on-line di quest’anno: un po’ pochine visto che già in 17 mi avete chiesto di iscrivervi ai Campionati! Riuscite a coinvolgere qualche altro giocatore?
Vi dico subito che tutte le risposte che ho ricevuto sono diverse dalla risposta che l’autore del gioco ha previsto, e che anche io condivido.

Una ragazza ha confuso “minuti” con “secondi”, probabilmente, e ha detto che una lancetta supera l’altra 719 volte tra mezzogiorno e mezzanotte. Avrebbe potuto leggere con più attenzione il testo, ma sicuramente, per la pazienza dimostrata, merita un encomio (che non è una brutta cosa: se non sapete cos’è, andate a cercare sul dizionario) .

Cinque di voi hanno risposto che la lancetta dei minuti supera quella delle ore 12 volte tra mezzogiorno e mezzanotte. In un certo senso avete ragione: le due lancette sono sovrapposte 12 volte in questo lasso di tempo.

Nelle immagini qui sopra, la lancetta dei secondi non è al posto giusto e gli orari indicati sono arrotondati ai minuti. Arrotondando ai secondi gli orari in cui le lancette si sovrappongono diventano le 12:00:00, le 13:05:27, le 14:10:55, le 15:16:22, le 16:21:49, le 17:27:16, le 06:32:44, le 19:38:11, le 20:43:38, le 21:49:05, le 22:54:33 e infine le 24:00:00 (ma sono comunque, tranne che nel primo e nell’ultimo caso, degli arrotondamenti, quindi… poco importa stare a calcolare anche le frazioni di secondo).

La questione però è che il gioco non chiedeva quante volte le lancette sono sovrapposte, ma quante volte avviene il sorpasso. E il sorpasso prevede che prima la lancetta dei minuti stia “dietro” quella delle ore, poi la raggiunga e subito dopo stia “davanti”. Ora: se inizio a guardare l’orologio a mezzogiorno, non vedo un sorpasso, perché non vedo il “prima”; e se smetto di guardare l’orologio a mezzanotte, non vedo un sorpasso, perché non vedo il “dopo”.

Immagino che l’unico di voi che ha risposto che la lancetta dei minuti supera 11 volte quella delle ore abbia escluso o mezzogiorno o mezzanotte dal conteggio, non accorgendosi che l’altra situazione era analoga.

Ad ogni modo, direi che come riscaldamento non è stato niente male: bravi!

Che cosa abbiamo imparato?

Conoscere la risposta a questo quesito difficilmente ci basterà, se non ne traiamo qualche insegnamento più “generale”, nel senso che difficilmente troveremo un quesito proprio uguale (o quasi) a questo.

Provo a scrivere qui sotto le cose che a me sono venute in mente leggendo le vostre risposte (e quelle di alcune persone adulte alle quali ho proposto questo stesso gioco).

1. Non è vero che i giochi debbano essere per forza complicati!

Ho l’impressione che chi ha risposto 719, e quindi ha letto “minuti” e ha inteso “secondi”, non abbia semplicemente sbagliato a leggere, ma (inconsciamente) abbia pensato che contare i sorpassi della lancetta dei minuti fosse troppo banale come richiesta per un gioco matematico!
Spesso i giochi sono meno complicati di quello che pensiamo, soprattutto i primi quesiti nei Campionati internazionali sono proprio semplici: non complicatevi la vita!

2. Un testo verbale è sempre un po’ ambiguo: riflettiamo sui significati delle parole!

Gli autori dei testi dei problemi di matematica spesso devono scegliere tra il non dare nulla per scontato, formulando testi lunghi e pesanti da leggere, e lo scrivere testi un po’ più leggeri, dove però alcune cose sono lasciate all’interpretazione del lettore. In questo caso, per esempio, non si dice se le lancette dell’orologio si muovono a scatti oppure di un movimento continuo (ma forse questo non è importante per trovare la risposta al problema). Inoltre non si spiega che cosa si intende per “superare”: anche alcuni professori di matematica che hanno fatto questo gioco hanno risposto, come la maggior parte di voi, “12 volte”. Purtroppo, durante le competizioni non abbiamo a disposizione il vocabolario di italiano (che, comunque, non sempre riuscirebbe a dirimere la questione fino in fondo).

3. I “casi limite” spesso sono casi particolari.

Spesso si tratta di studiare una situazione entro dei limiti definiti. Non sempre le situazioni “al limite” sono diverse da quella generale, ma qualche volta (come in questo caso) sì: meglio starci particolarmente attenti!