Sesto allenamento in vista dei Campionati

Ecco il sesto allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Cubi e colori

Abbiamo a disposizione sei colori per pitturare le facce di una serie di cubi. In ciascun cubo, ogni faccia deve essere pitturata uniformemente con uno solo dei sei colori e ogni faccia deve essere di un colore diverso da quello delle altre.

Tenendo presente che due cubi sono uguali quando uno può essere ottenuto ruotando l’altro, quanti cubi diversi possono essere pitturati a queste condizioni?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios 4. Problemas e histórias da matemática no público, edições Afrontamento, 1995)

Risposte al quinto allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto cinque risposte al problema “Pesci e pescatori“, tutte corrette: grazie a Giada (seconda D), Gioia (prima A), Ambra (seconda C), Filippo (terza D) e Alvise (prima B)!

Qui trovate l’inizio della soluzione di Ambra:

Ambra ragiona proprio come fanno i matematici. Dice: se Enrico e Alvise pescano lo stesso numero di pesci, chiamo n questo numero che non conosco. Poi so che anche il figlio di Dario pesca dei pesci, ma non so quanti sono, e nemmeno so se sono tanti quanti quelli di Enrico e Alvise, quindi scelgo un’altra lettera per indicare il numero di pesci che pesca: N. Dario so che pesca il triplo dei pesci di suo figlio, quindi 3×N.

Poi fa tutta una serie di prove:

• Se N fosse 1, Dario e suo figlio insieme avrebbero pescato 4 pesci, quindi Enrico e Alvise insieme avrebbero pescato 35-4=31 pesci. Ma allora avrebbero dovuto pescare 15,5 pesci a testa, il che non è possibile.
• Se N fosse 2, Dario e suo figlio insieme avrebbero pescato 8 pesci, quindi Enrico e Alvise insieme avrebbero pescato 35-8=27 pesci. Ma allora avrebbero dovuto pescare 13,5 pesci a testa, il che non è possibile.
• E così via fino al caso in cui N fosse 8: in tutti i casi, la somma dei pesci pescati da Enrico e Alvise è un numero dispari, quindi non è possibile che loro abbiano pescato lo stesso numero di pesci.
• Infine se N fosse 9, da soli Dario e suo figlio avrebbero pescato 36 pesci, il che non è possibile perché il totale era 35.

Si sarebbe potuti arrivare alla stessa conclusione lavorando un po’ di più con le lettere invece che con i numeri, o meglio… lavorando un po’ di più con i numeri “generici” invece che con i casi particolari. Per i ragazzi dalla terza media in su, dovrebbe essere più facile. Per gli altri forse un po’ meno, ma… provate a seguire il discorso.

Usiamo le stesse lettere di Ambra per rappresentare le stesse cose. Dovrebbe allora succedere che
n+n+N+3×N=35
Ma:

• n+n è come dire il doppio di n, e il doppio di n è sicuramente pari;
• N+3×N=4×N è anche questo sicuramente pari;
• la somma di due numeri pari è ancora un numero pari, quindi non può essere 35.

Quindi, come Ambra, arriviamo a dire che c’è qualcosa che non quadra, c’è qualcosa di impossibile. E allora concludiamo con lei il nostro ragionamento:

Che cosa abbiamo imparato?

Credo che questo problema metta bene in luce alcuni fatti molto importante (parto da 8, perché 7 cose le abbiamo già imparate commentando gli allenamenti prima di questo).

8. Numeri pari e dispari

La somma di due numeri pari, è sempre un numero pari.
Il prodotto di un numero qualsiasi per un numero pari, è sempre un numero pari.

Sono cose banali, che però era importante notare per risolvere questo problema.

9. Numeri naturali e numeri razionali

A volte succede che, quando pensiamo alle cose di scuola, indossiamo dei “paraocchi” mentali e andiamo dritti alla ricerca delle operazioni da fare, senza usare la testa. In questo caso, qualcuno avrebbe potuto tranquillamente dire che Enrico e Alvise pescano 13,5 pesci a testa, senza accorgersi che una affermazione di questo tipo non ha senso, perché quando si conta quanti pesci si sono pescati, si usano solo i numeri naturali. (Mentre, tanto per fare un esempio, se si pesano i pesci pescati, allora ha senso usare i numeri razionali).